设集合\[\begin{split} A&=\left\{(x,y)\mid \dfrac m2\leqslant (x-2)^2+y^2\leqslant m^2,x,y\in\mathbb R\right\},\\ B&=\left\{(x,y)\mid 2m\leqslant x+y\leqslant 2m+1,x,y\in\mathbb R\right\},\end{split}\]若 $A\cap B\neq \varnothing$，则实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2011年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,2+\sqrt 2\right]$
【解析】
考虑问题的反面，若 $A\cap B=\varnothing$，那么
情形一 $A=\varnothing$．此时 $\dfrac m2>m^2$，即 $0<m<\dfrac 12$．
情形二 $A\ne \varnothing$．当 $m>\dfrac 12$ 时，$A$ 表示环形区域；当 $m=\dfrac 12$ 时，$A$ 退化为一个圆圈；当 $m=0$ 时，$A$ 表示一个点；当 $m<0$ 时，$A$ 表示一个圆及其内部．$B$ 始终表示两条平行直线及之间的部分．若 $A\cap B=\varnothing$，无论 $A$ 为何种形状，皆与圆心 $(2,0)$ 到直线 $x+y=2m$ 与直线 $x+y=2m+1$ 的距离均大于 $|m|$ 等价，即$$\begin{cases}\dfrac{|2-2m|}{\sqrt 2}>|m|,\\ \dfrac{|1-2m|}{\sqrt 2}>|m|,\end{cases}$$解得 $m\leqslant 0$ 或 $m>2+\sqrt 2$．
综上所述，若 $A\cap B=\varnothing$，那么 $m<\dfrac 12$ 或 $m>2+\sqrt 2$．因此所求实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,2+\sqrt 2\right]$．
综上所述，若 $A\cap B=\varnothing$，那么 $m<\dfrac 12$ 或 $m>2+\sqrt 2$．因此所求实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,2+\sqrt 2\right]$．
题目
答案
解析
备注
