若函数 $f(x)=x^2\cdot |x-a|$ 在区间 $[0,2]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,0\right]\cup\left[3,+\infty\right)$
【解析】
若 $a\leqslant 0$，则当 $x\in [0,2]$ 时，$f(x)=x^2\cdot (x-a)$，单调递增．符合题意；
若 $a>0$，必然有 $a>2$（否则 $f(0)=f(a)=0$，不可能在 $[0,a]$ 上单调递增，不符合题意）．于是当 $x\in [0,2]$ 时，有$$f(x)=x^2\cdot (a-x),$$其导函数$$f'(x)=x(2a-3x),$$因此有 $\dfrac {2a}3\geqslant 2$，从而 $a\geqslant 3$．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,0\right]\cup\left[3,+\infty\right)$．
若 $a>0$，必然有 $a>2$（否则 $f(0)=f(a)=0$，不可能在 $[0,a]$ 上单调递增，不符合题意）．于是当 $x\in [0,2]$ 时，有$$f(x)=x^2\cdot (a-x),$$其导函数$$f'(x)=x(2a-3x),$$因此有 $\dfrac {2a}3\geqslant 2$，从而 $a\geqslant 3$．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,0\right]\cup\left[3,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
