情形一当 $\alpha>2$ 时，根据指数函数的性质，有$$\left|\sin x\right|^{\alpha}\leqslant \left|\sin x\right|^2,\left|\cos x\right|^{\alpha}\leqslant \left|\cos x\right|^2,$$等号当且仅当 $\left|\sin x\right|,\left|\cos x\right|\in \{0,1\}$ 时取得．此时有$$\left\{ x \big| \left|\sin x\right|^{\alpha}+\left|\cos x\right|^{\alpha}=1\right\}=\left\{x \mid \sin^4 x+\cos ^4x=1\right\}=\left\{ x\mid x=\dfrac{k\pi}2,k\in\mathbb Z\right\}.$$情形二当 $\alpha=2$ 时，显然有$$\left\{ x \big| \left|\sin x\right|^{\alpha}+\left|\cos x\right|^{\alpha}=1\right\}=\mathbb R.$$情形三当 $0<\alpha<2$ 时，根据指数函数的性质，有$$\left|\sin x\right|^{\alpha}\geqslant \left|\sin x\right|^2,\left|\cos x\right|^{\alpha}\geqslant \left|\cos x\right|^2,$$等号当且仅当 $\left|\sin x\right|,\left|\cos x\right|\in \{0,1\}$ 时取得．此时有$$\left\{ x \big| \left|\sin x\right|^{\alpha}+\left|\cos x\right|^{\alpha}=1\right\}=\left\{x \mid \sin^4 x+\cos ^4x=1\right\}=\left\{ x\mid x=\dfrac{k\pi}2,k\in\mathbb Z\right\}.$$情形四当 $\alpha\leqslant 0$ 时，显然有$$\left\{ x \big| \left|\sin x\right|^{\alpha}+\left|\cos x\right|^{\alpha}=1\right\}=\varnothing.$$综上所述，$\alpha$ 的取值范围是 $(-\infty,2)\cup (2,+\infty)$．