根据题意，有\[\forall x>2,k<\dfrac{x+x\ln x}{x-2},\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{x-2\ln x-4}{(x-2)^2},\]因此 $\varphi(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上存在极小值点，亦为最小值点，记为 $x=m$，可以估计 $m$ 在 $8$ 附近，可得必要条件\[k<\dfrac{8+8\ln 8}{6}<\dfrac {8+24\cdot \dfrac 34}{6}=\dfrac{13}{3},\]于是尝试证明 $k$ 的最大值为 $4$，只需要验证 $k$ 可以取到 $4$．
当 $k=4$ 时，欲证结论为\[\forall x>2,4(x-2)<x+x\ln x,\]即\[\forall x>2,\ln x+\dfrac 8x-3>0,\]记左侧函数为 $\mu(x)$，则其导函数\[\mu'(x)=\dfrac{x-8}{x^2},\]于是 $\mu(x)$ 在 $x=8$ 处取得极小值，亦为最小值\[\mu(8)=\ln 8-2>0,\]符合题意．
综上所述，$k$ 的最大值为 $4$．