已知 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边，$BC$ 边上的高为 $\dfrac 12a$，则 $\dfrac cb$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 2+1$
【解析】
根据题意，有\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 14a^2=\dfrac 12bc\sin A,\]应用余弦定理，可得\[b^2+c^2-2bc\cos A=2bc\sin A,\]于是\[t^2+1-2t\cos A=2t\sin A,\]其中 $t=\dfrac cb$．这样就得到了\[2t\sin A+2t\cos A=t^2+1,\]于是\[2\sqrt 2\sin \left(A+\dfrac{\pi}4\right)=t+\dfrac 1t,\]从而\[t+\dfrac 1t\leqslant 2\sqrt 2,\]解得 $t$ 的最大值为 $\sqrt 2+1$．
题目
答案
解析
备注
