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已知存在满足 $\alpha,\beta,\alpha+\beta$ 均为锐角的 $\alpha,\beta$ 使得方程 $\sin\dfrac{\alpha}2=k\cos\beta$ 有解，则 $k$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    冻结变量法
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    分离变量法
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
$\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$
【解析】
根据题意，有\[\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)<\cos\beta<1,\]于是\[\sin\dfrac{\alpha}2<k=\dfrac{\sin\dfrac{\alpha}2}{\cos\beta}<\dfrac{\sin\dfrac{\alpha}2}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{2\cos\dfrac{\alpha}2},\]当 $\beta $ 固定，$\alpha \to 0$ 时，$k\to 0$；当 $\alpha \to\dfrac {\pi}2,\beta \to 0$ 时，$k\to \dfrac {\sqrt 2}2$，因此 $k$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$．
题目 答案 解析 备注
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