已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，$g(x)=3x^2+2ax+b$．若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，则下列结论正确的是 ．
① $f(0)\cdot f(1)\leqslant 0$；
② $g(0)\cdot g(1)\geqslant 0$；
③ $a^2-3b$ 有最小值．
① $f(0)\cdot f(1)\leqslant 0$；
② $g(0)\cdot g(1)\geqslant 0$；
③ $a^2-3b$ 有最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②③
【解析】
命题 ① 错误；命题 ② 正确．命题 ③ 有以下思路．
思路一 $g(0)\leqslant 0$，$g(1)\leqslant 0$，利用规划即得．
思路二 注意到 $a^2-3b=\dfrac 14\Delta$，而$$\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{\sqrt\Delta}{3},$$再利用 $\left|x_1-x_2\right|\geqslant 1$ 即得．
思路三 注意到 $g(x)$ 的开口大小固定，而最小值只与判别式有关．
思路四 注意到规划边界封闭，因此 $a^2-3b$ 必然存在最小值．
题目
答案
解析
备注
