已知 $A,B$ 为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>a>0$）上的两点，且以线段 $AB$ 为直径的圆通过坐标原点 $O$，则 $\triangle AOB$ 面积的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}$
【解析】
不妨设 $A\left(r_1\cos\theta,r_1\sin\theta\right)$，$B\left(-r_2\sin\theta,r_2\cos\theta\right)$，则有$$\begin{cases} \dfrac{r_1^2\cos^2\theta}{a^2}-\dfrac{r_1^2\sin^2\theta}{b^2}=1,\\
\dfrac{r_2^2\sin^2\theta}{a^2}-\dfrac{r_2^2\cos^2\theta}{b^2}=1,\end{cases}$$于是$$\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2},$$进而可得 $\triangle AOB$ 的面积$$S=\dfrac 12r_1r_2=\dfrac 12r_1r_2\cdot \left(\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}\right)\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac 12\left(\dfrac{r_2}{r_1}+\dfrac{r_1}{r_2}\right)\cdot \dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}\geqslant \dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2},$$等号当 $r_1=r_2$ 时取得．因此所求面积的最小值为 $\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}$．
\dfrac{r_2^2\sin^2\theta}{a^2}-\dfrac{r_2^2\cos^2\theta}{b^2}=1,\end{cases}$$于是$$\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2},$$进而可得 $\triangle AOB$ 的面积$$S=\dfrac 12r_1r_2=\dfrac 12r_1r_2\cdot \left(\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}\right)\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac 12\left(\dfrac{r_2}{r_1}+\dfrac{r_1}{r_2}\right)\cdot \dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}\geqslant \dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2},$$等号当 $r_1=r_2$ 时取得．因此所求面积的最小值为 $\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}$．
题目
答案
解析
备注
