在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，若 $\dfrac{b^2}{ac}\geqslant \dfrac{\cos^2B}{\cos A\cdot\cos C}$，则 $B$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$
【解析】
结合正弦定理，题中条件等价于$$\sqrt{\tan A\cdot \tan C}\leqslant \tan B,$$而注意到 $\tan A\cdot \tan C>1$，于是$$\begin{split} \tan B=&\dfrac{\tan A+\tan C}{\tan A\cdot \tan C-1}\\\geqslant &\dfrac{2\sqrt {\tan A\cdot \tan C}}{\tan A\cdot \tan C-1}\\=&\dfrac{2}{\sqrt{\tan A\cdot \tan C}-\dfrac{1}{\sqrt{\tan A\cdot \tan C}}}\\\geqslant &\dfrac{2}{\tan B-\dfrac{1}{\tan B}},\end{split} $$从而可得$$\tan^2B\geqslant 3,$$于是 $B\geqslant\dfrac{\pi}3$．
另一方面，当 $B\geqslant\dfrac{\pi}3$ 时，取 $A=C=\dfrac{\pi}2-\dfrac 12B\leqslant \dfrac {\pi}3$，则有$$\sqrt{\tan A\cdot \tan C}\leqslant \sqrt{\tan\dfrac{\pi}3\cdot \tan\dfrac{\pi}3}=\sqrt 3\leqslant \tan B,$$因此所求 $B$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$．
另一方面，当 $B\geqslant\dfrac{\pi}3$ 时，取 $A=C=\dfrac{\pi}2-\dfrac 12B\leqslant \dfrac {\pi}3$，则有$$\sqrt{\tan A\cdot \tan C}\leqslant \sqrt{\tan\dfrac{\pi}3\cdot \tan\dfrac{\pi}3}=\sqrt 3\leqslant \tan B,$$因此所求 $B$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$．
题目
答案
解析
备注
