先染从 $P$ 点出发的 $4$ 条侧棱，有 ${\rm A}_6^4=360$ 种不同的方案．接下来考虑底面的染色．
情形一没有额外的颜色，有 $2$ 种染色方案．
情形二有 $1$ 种额外的颜色，分为 $2$ 类：
① 染一条边，有 $2\cdot 4\cdot 4=32$ 种方案；
② 染两条对边，有 $2\cdot 2\cdot 4=16$ 种方案．
情形三有 $2$ 种额外的颜色，分为 $4$ 类：
① 染两条邻边，有 $4\cdot 2\cdot 3=24$ 种方案；
② 染两条对边，有 $2\cdot 2\cdot 4=16$ 种方案；
③ 染三条边，有 $4\cdot 2\cdot 2=16$ 种方案；
④ 染四条边，有 $2$ 种方案．
因此不同的染色方案总数为$$360\cdot [2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38880.$$