已知函数 $f(x)=\begin{cases} \ln x,&x\geqslant 1,\\ 1-\dfrac x2,&x<1,\end{cases}$ 若 $F(x)=f(f(x)+1)+m$ 有两个零点 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[4-2\ln 2,+\infty\right)$
【解析】
把问题转化为 $f(t)=-m$，$t=f(x)+1$．如图，$x_1,x_2$ 为函数 $f(t)=-m$ 的解 $t=t_i$ 对应到 $f(x)+1=t_i$ 的解 $x_1,x_2$，结合图象知 $t_i>\dfrac 32$ 时，对应两个解 $x_1,x_2$：
% $y=f(x)+1$ 的图象与直线 $y=t$ 的公共点横坐标，其中 $t>\dfrac 32$．
不妨设 $x_1<x_2$，于是$$1-\dfrac{x_1}2=\ln x_2=u,$$其中 $u=t-1$，$u>\dfrac 12$，有$$x_1+x_2=2-2u+{\rm e}^u,$$设右边为 $\varphi(u)$，则其导函数$$\varphi'(u)={\rm e}^u-2,$$因此所求的范围是 $\left[\varphi(\ln 2),+\infty\right)$，即 $\left[4-2\ln 2,+\infty\right)$．
% $y=f(x)+1$ 的图象与直线 $y=t$ 的公共点横坐标，其中 $t>\dfrac 32$．
不妨设 $x_1<x_2$，于是$$1-\dfrac{x_1}2=\ln x_2=u,$$其中 $u=t-1$，$u>\dfrac 12$，有$$x_1+x_2=2-2u+{\rm e}^u,$$设右边为 $\varphi(u)$，则其导函数$$\varphi'(u)={\rm e}^u-2,$$因此所求的范围是 $\left[\varphi(\ln 2),+\infty\right)$，即 $\left[4-2\ln 2,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
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