已知 $a,b\in\mathbb R$，若函数 $f(x)=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|$ 的最大值为 $11$，则 $a^2+b^2$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$50$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}
f(x)&=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|\\
&=\max\left\{|(a+b)\sin x+(b-a)\cos x-1| ,|(a-b)\sin x +(b+a)\cos x-1|\right\}\\
&\leqslant \sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}+1\\
&=\sqrt{2(a^2+b^2)}+1,
\end{split}\]接下来研究取等条件．设 $A(b,a)$，$B(-a,b)$，$P(\cos x,\sin x)$，则当 $\overrightarrow {OP}$ 与 $\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}$ 反向时取得等号．因此有\[\sqrt{2(a^2+b^2)}+1=11,\]解得 $a^2+b^2=50$．
f(x)&=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|\\
&=\max\left\{|(a+b)\sin x+(b-a)\cos x-1| ,|(a-b)\sin x +(b+a)\cos x-1|\right\}\\
&\leqslant \sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}+1\\
&=\sqrt{2(a^2+b^2)}+1,
\end{split}\]接下来研究取等条件．设 $A(b,a)$，$B(-a,b)$，$P(\cos x,\sin x)$，则当 $\overrightarrow {OP}$ 与 $\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}$ 反向时取得等号．因此有\[\sqrt{2(a^2+b^2)}+1=11,\]解得 $a^2+b^2=50$．
题目
答案
解析
备注
