已知 $\overrightarrow m,\overrightarrow n$ 是两个非零向量，且 $|\overrightarrow m|=2$，$|\overrightarrow m+2\overrightarrow n|=2$，则 $|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{8\sqrt 3}3$
【解析】
设 $\overrightarrow p=\overrightarrow m+2\overrightarrow n$，则 $\overrightarrow n=\dfrac 12\overrightarrow p-\dfrac 12\overrightarrow m$，此时条件为\[\overrightarrow m^2=\overrightarrow p^2=4,\]所求代数式\[\begin{split}
|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|&=\left|\dfrac 32\overrightarrow m+\dfrac 12\overrightarrow p\right|+\left|\dfrac 12\overrightarrow p-\dfrac 12\overrightarrow m\right|\\
&=\dfrac{\sqrt 3}2\left|\sqrt 3\overrightarrow m+\dfrac{1}{\sqrt 3}\overrightarrow p\right|+\dfrac 12\left|\overrightarrow m-\overrightarrow p\right|\\
&\leqslant \sqrt{\left(\sqrt 3\overrightarrow m+\dfrac{1}{\sqrt 3}\overrightarrow p\right)^2+\left(\overrightarrow m-\overrightarrow p\right)^2}\\
&=\sqrt{4\overrightarrow m^2+\dfrac 43\overrightarrow p^2}\\
&=\dfrac{8}{\sqrt 3}.
\end{split}\]其中提出的系数比 $\sqrt 3:1$ 是为了可以抵消交叉项 $\overrightarrow m\cdot \overrightarrow p$．
|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|&=\left|\dfrac 32\overrightarrow m+\dfrac 12\overrightarrow p\right|+\left|\dfrac 12\overrightarrow p-\dfrac 12\overrightarrow m\right|\\
&=\dfrac{\sqrt 3}2\left|\sqrt 3\overrightarrow m+\dfrac{1}{\sqrt 3}\overrightarrow p\right|+\dfrac 12\left|\overrightarrow m-\overrightarrow p\right|\\
&\leqslant \sqrt{\left(\sqrt 3\overrightarrow m+\dfrac{1}{\sqrt 3}\overrightarrow p\right)^2+\left(\overrightarrow m-\overrightarrow p\right)^2}\\
&=\sqrt{4\overrightarrow m^2+\dfrac 43\overrightarrow p^2}\\
&=\dfrac{8}{\sqrt 3}.
\end{split}\]其中提出的系数比 $\sqrt 3:1$ 是为了可以抵消交叉项 $\overrightarrow m\cdot \overrightarrow p$．
题目
答案
解析
备注
