推测最大值在边界处取得．用割线放缩，考虑到\[\begin{aligned}
\sqrt{1+2a^2}&\leqslant \left(\sqrt 3-1\right)a+1,\\
\sqrt{40+9b^2}&\leqslant \left(7-\sqrt{40}\right)b+\sqrt{40},\\
\end{aligned}\]等号当 $a,b\in\{0,1\}$ 时取得．于是有\[3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}\leqslant 3\left(\sqrt 3-1\right)a+3+ 2\left(7-\sqrt{40}\right)b+2\sqrt{40},\]考虑到 $3(\sqrt{3}-1)>2(7-\sqrt{40})$，于是当 $(a,b)=(1,0)$ 时右边取得最大值．因此所求的最大值为 $3\sqrt 3+4\sqrt{10}$．
考虑用切线放缩处理最小值．考虑到\[\begin{aligned}
\sqrt{1+2a^2}&\geqslant \dfrac{2\lambda }{\sqrt{1+2\lambda ^2}}(a-\lambda)+\sqrt{1+2\lambda^2},\\
\sqrt{40+9b^2}&\geqslant \dfrac{9\mu}{\sqrt{40+9\mu^2}}(b-\mu)+\sqrt{40+9\mu^2},\\
\end{aligned}\]等号当 $(a,b)=(\lambda,\mu)$ 时取得．令\[\begin{cases}\lambda+\mu=1,\\ 3\cdot \dfrac{2\lambda }{\sqrt{1+2\lambda ^2}}=2\cdot \dfrac{9\mu}{\sqrt{40+9\mu^2}},\end{cases}\]解得 $\lambda=\dfrac 13$，$\mu=\dfrac 23$，从而可得\[3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}\geqslant 3\sqrt{1+2\left(\dfrac 13\right)^2}+2\sqrt{40+9\left(\dfrac 23\right)^2}=5\sqrt{11},\]等号当 $(a,b)=\left(\dfrac 13,\dfrac 23\right)$ 时取得．因此所求的最小值为 $5\sqrt{11}$．