根据题意，有\[f(x+1)-f(x)=\dfrac{x+2}{(x+1)^2+1}-\dfrac{x+1}{x^2+1}=\dfrac{-x^2-3x}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2},\]于是问题等价于求方程\[x^4+2x^3+4x^2+5x+2=0\]和方程\[x^4+2x^3+2x^2-x+2=0\]的实数解个数之和．
第一个方程第一个方程即\[(x+1)\left(x^3+x^2+3x+2\right)=0,\]考虑到函数 $y=x^3+x^2+3x+2$ 为 $\mathbb R$ 上的单调递增函数，因此第一个方程共有 $2$ 个实数解．
第二个方程对于第二个方程，考虑到当 $x\geqslant 0$ 时，有\[2x^2-x+2>0,\]于是该方程无解；当 $x<0$ 时，由于\[x^4+2x^3+2x^2=x^2\left[(x+1)^2+1\right]>0,\]于是该方程亦无解．因此第二个方程共有 $0$ 个实数解．
综上所述，所求的方程的实数解的个数为 $2$．