不影响问题的本质，考虑随机变量 $X$ 的取值为有限个的情形．设随机变量 $X$ 的分布列为\[\begin{matrix}X&x_1&x_2&\cdots &x_n \\
p(X)& p_1 &p_2 &\cdots &p_n\end{matrix}\]其中 $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$ 且 $p_1,p_2,\cdots,p_n>0$．那么有\[\begin{split}E(X)E(Y)&=\left(p_1x_1+p_2x_2+\cdots p_nx_n\right)\left(p_1x_1^{-1}+p_2x_2^{-1}+\cdots+p_nx_n^{-1}\right)\\
&\geqslant \left({x}_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}\right)\left(x_1^{-p_1}x_2^{-p_2}\cdots x_n^{-p_n}\right)\\
&=1,\end{split}\]等号当 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 时取得，因此 $E(X)E(Y)$ 的最小值为 $1$．
考虑函数 $f(x_i)=E(X)E(Y)$（$i=1,2,\cdots,n$）的单调性，可得当 $x_i\in\{2,3\}$ 时 $E(X)E(Y)$ 取得最大值．这是由于 $a,b,p>0$ 时，有\[\left(px+a\right)\left(\dfrac px+b\right)=pbx+\dfrac {pa}x+p^2+ab,\]而对勾函数 $y=pbx+\dfrac {pa}x$ 在限制区间上的最大值必然在区间端点处取得．假设随机变量 $X$ 中取值 $2,3$ 对应的概率分别为 $p,q$，其中 $p+q=1$ 且 $p,q>0$，那么\[\begin{split}E(X)E(Y)&=(2p+3q)\left(\dfrac p2+\dfrac q3\right)\\
&=\dfrac{p^2+q^2+\dfrac{13}6pq}{p^2+q^2+2pq}\\
&=1+\dfrac{\dfrac 16}{\dfrac pq+\dfrac qp+2}\\
&\leqslant 1+\dfrac{\dfrac 16}{2+2}\\
&=\dfrac{25}{24},\end{split}\]等号当 $p=q$ 时取得，因此 $E(X)E(Y)$ 的最大值为 $\dfrac{25}{24}$．
综上所述，考虑到连续性，$E(X)E(Y)$ 的取值范围为 $\left[1,\dfrac{25}{24}\right]$．