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设 $P$ 为曲线 $C_1$ 上的动点，$Q$ 为曲线 $C_2$ 上的动点，则称 $|PQ|$ 的最小值为曲线 $C_1,C_2$ 之间的距离，记作 $d\left(C_1,C_2\right)$．
$(1)$ 若\[C_1:x^2+y^2=2, C_2:(x-3)^2+(y-3)^2=2,\]则 $d\left(C_1,C_2\right)=$  ；
$(2)$ 若\[C_3:\mathrm{e}^x-2y=0, C_4:\ln x+\ln 2=y,\]则 $d\left(C_3,C_4\right)=$  ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 知识点
    >
    函数
    >
    反函数
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的切线
【答案】
$\sqrt{2}$；$\sqrt{2}-\sqrt{2}\ln 2$
【解析】
注意 $C_3$ 与 $C_4$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称．所以只需要求曲线 $C_4$ 上的点到 $y=x$ 的距离的最小值，$C_4$ 对应的函数为 $y=\ln x+\ln 2$，所以斜率为 $1$ 的切线方程对应的切点为 $(1,\ln 2)$，从而切线为 $y=x-1+\ln 2$，它与 $y=x$ 的距离为$$d=\dfrac{1-\ln 2}{\sqrt 2},$$从而$$d(C_3,C_4)=2\cdot\dfrac{1-\ln 2}{\sqrt 2}=\sqrt 2-\sqrt 2\ln 2.$$
题目 答案 解析 备注
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