根据题意，有\[3\sqrt{\left(4\cos A-5\right)^2+(4\sin A)^2}+4\sqrt{\left(3\cos A\right)^2+\left(3\sin A-5\right)^2}=25,\]即\[\sqrt{\left(\cos A-\dfrac 54\right)^2+\sin^2A}+\sqrt{\cos^2A+\left(\sin A-\dfrac 53\right)^2}=\dfrac{25}{12},\]上式左边的几何意义是单位圆在第一象限的部分上的一点 $P\left(\cos A,\sin A\right)$ 到点 $M\left(\dfrac 54,0\right)$ 和点 $N\left(0,\dfrac 53\right)$ 的距离之和．注意到 $MN=\dfrac{25}{12}$ 且线段 $MN$ 与单位圆相切于点 $\left(\dfrac 45,\dfrac 35\right)$，因此 $P$ 就是切点所在的位置．这样就得到了 $\cos A=\dfrac 45$．另一方面，不妨设 $\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $1$，直线 $AO$ 与边 $BC$ 交于点 $D$，那么根据向量线性分解的系数和的几何意义，有\[x+y=\dfrac{OA}{AD}=\dfrac{OA}{OA+OD}\leqslant \dfrac{OA}{OA+d(O,BC)}=\dfrac{1}{1+\cos A}=\dfrac 59,\]因此 $x+y$ 的最大值为 $\dfrac 59$．