题目 棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中运动，其中顶点 $A$ 保持在 $z$ 轴上，顶点 $B_1$ 保持在平面 $xOy$ 上，则 $OC$ 长度的最小值是<nn> </nn>． 答案 $\sqrt 6-\sqrt 2$ 解析 考虑让正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 静止，坐标系运动．由于 $OA\perp OB_1$，于是 $O$ 点在以 $AB_1$ 为直径的球面上运动．设该球面的球心为 $M$，则其半径$$r=MA=\dfrac 12AB_1=\sqrt 2,$$而 $MC=\sqrt 6$，因此 $OC$ 长度的最小值为\[|MC-r|=\sqrt 6-\sqrt 2.\]<img src="http://bison.img.eduzhixin.com/math-img/df2cf5ce6a8d9952b3581105e56bc393.png" class="img-responsive" /> 备注 每日一题[952]相对运动．