设数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_{21}$ 满足：$\left|a_{n+1}-a_n\right|=1$（$n=1,2,3,\cdots,20$），$a_1,a_7,a_{21}$ 成等比数列．若 $a_1=1$，$a_{21}=9$，则满足条件的不同数列的个数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$15099$
【解析】
设 $b_n=a_{n+1}-a_n$，$n=1,2,\cdots,20$，则数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{21}$ 与有序数组$$\left(b_1,b_2,\cdots,b_{20}\right)$$一一对应，且 $b_i\in\{1,-1\}$（$i=1,2,\cdots,20$）．根据题意，有 $a_7=3$ 或 $a_7=-3$，于是\[\begin{cases}b_1+b_2+\cdots +b_6=2,\\ b_7+b_8+\cdots+b_{20}=6,\end{cases}\]或\[\begin{cases}b_1+b_2+\cdots+b_6=-4,\\ b_7+b_8+\cdots+b_{20}=12,\end{cases} \]对应的个数为\[{\rm C}_6^4{\rm C}_{14}^{10}+{\rm C}_6^1{\rm C}_{14}^{13}=15099.\]
题目
答案
解析
备注
