在等边三角形 $ABC$ 中，$P$ 为三角形 $ABC$ 内一点，且 $\angle BPC=120^\circ$，则 $\dfrac{PA}{PC}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 3}2$
【解析】
如图，将 $P$ 绕 $B$ 点顺时针旋转 $60^\circ$ 得到点 $Q$，则 $\angle ABP$ 与 $\triangle CBQ$ 全等，于是 $PA=QC$ 且$$\angle QPC=\angle BPC-\angle BPQ= 60^\circ.$$
在 $\triangle PQC$ 中，应用正弦定理可得\[\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QC}{PC}=\dfrac{\sin\angle QPC}{\sin\angle PQC}=\dfrac{\sin 60^\circ}{\sin \angle PQC}\geqslant \dfrac{\sqrt 3}2,\]等号当且仅当 $\angle PQC=90^\circ$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．
在 $\triangle PQC$ 中，应用正弦定理可得\[\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QC}{PC}=\dfrac{\sin\angle QPC}{\sin\angle PQC}=\dfrac{\sin 60^\circ}{\sin \angle PQC}\geqslant \dfrac{\sqrt 3}2,\]等号当且仅当 $\angle PQC=90^\circ$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．
题目
答案
解析
备注
