已知函数 $f(x)=x^2+ax+b$（$a,b\in\mathbb R$）在区间 $(0,1]$ 上有零点 $x_0$，则 $ab\left(\dfrac{x_0}4+\dfrac{1}{9x_0}-\dfrac 13\right)$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{144}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}ab\left(\dfrac{x_0}4+\dfrac{1}{9x_0}-\dfrac 13\right)&=a\cdot \left(-x_0^2-ax_0\right)\cdot \left(\dfrac{x_0}4+\dfrac{1}{9x_0}-\dfrac 13\right)\\
&=\dfrac {1}{36}a\left(-x_0-a\right)\left(3x_0-2\right)^2\\
&\leqslant \dfrac{1}{36}\cdot \dfrac{x_0^2}4\cdot \left(3x_0-2\right)^2\\
&=\dfrac{1}{144}\cdot \left[x_0\left(3x_0-2\right)\right]^2\\
&\leqslant \dfrac{1}{144}
,\end{split}\]等号当 $x_0=1$，$a=-\dfrac 12$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{1}{144}$．
&=\dfrac {1}{36}a\left(-x_0-a\right)\left(3x_0-2\right)^2\\
&\leqslant \dfrac{1}{36}\cdot \dfrac{x_0^2}4\cdot \left(3x_0-2\right)^2\\
&=\dfrac{1}{144}\cdot \left[x_0\left(3x_0-2\right)\right]^2\\
&\leqslant \dfrac{1}{144}
,\end{split}\]等号当 $x_0=1$，$a=-\dfrac 12$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{1}{144}$．
题目
答案
解析
备注
