已知函数 $f(x)=ax+b$ 满足对任意的实数 $x\in[0,1]$，都有 $|f(x)|\leqslant 1$，则 $(a+1)(b+1)$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-2,\dfrac 94\right]$
【解析】
根据题意，有 $|f(0)|\leqslant 1$ 且 $|f(1)|\leqslant 1$，即 $-1\leqslant b\leqslant 1$ 且 $-1\leqslant a+b\leqslant 1$．
一方面，有\[(a+1)(b+1)=ab+a+b+1\leqslant \left(\dfrac{a+b}2\right)^2+a+b+1=\dfrac 14(a+b+2)^2\leqslant \dfrac 94,\]等号当 $(a,b)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时取得，因此 $(a+1)(b+1)$ 的最大值为 $\dfrac 94$．
另一方面，有\[(a+1)(b+1)=(a+1)b+a+1\geqslant \min\{0,2a+2\}=-2,\]等号当 $(a,b)=(-2,1)$ 时取得，因此 $(a+1)(b+1)$ 的最小值为 $-2$．
综上所述，所求的取值范围是 $\left[-2,\dfrac 94\right]$．
一方面，有\[(a+1)(b+1)=ab+a+b+1\leqslant \left(\dfrac{a+b}2\right)^2+a+b+1=\dfrac 14(a+b+2)^2\leqslant \dfrac 94,\]等号当 $(a,b)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时取得，因此 $(a+1)(b+1)$ 的最大值为 $\dfrac 94$．
另一方面，有\[(a+1)(b+1)=(a+1)b+a+1\geqslant \min\{0,2a+2\}=-2,\]等号当 $(a,b)=(-2,1)$ 时取得，因此 $(a+1)(b+1)$ 的最小值为 $-2$．
综上所述，所求的取值范围是 $\left[-2,\dfrac 94\right]$．
题目
答案
解析
备注
