已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则 $\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x+\tan x}+\dfrac{\tan x+\cot x}{\cos x+\tan x}+\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x+\cot x}+\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x+\cot x}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
根据题意，设原式为 $M$，则\[\begin{split}
M&=\left(\sin x+\cos x\right)\cdot \left(\dfrac{1}{\sin x+\tan x}+\dfrac{1}{\cos x+\cot x}\right)+\left(\tan x+\cot x\right)\left(\dfrac{1}{\cos x+\tan x}+\dfrac{1}{\sin x+\cot x}\right)\\
&\geqslant \dfrac{4\left(\sin x+\cos x\right)}{\sin x+\cos x+\tan x+\cot x}+\dfrac{4\left(\tan x+\cot x\right)}{\sin x+\cos x+\tan x+\cot x}\\
&=4
,\end{split}\]等号当 $x=\dfrac{\pi}4$ 时取得．因此所求的最小值为 $4$．
M&=\left(\sin x+\cos x\right)\cdot \left(\dfrac{1}{\sin x+\tan x}+\dfrac{1}{\cos x+\cot x}\right)+\left(\tan x+\cot x\right)\left(\dfrac{1}{\cos x+\tan x}+\dfrac{1}{\sin x+\cot x}\right)\\
&\geqslant \dfrac{4\left(\sin x+\cos x\right)}{\sin x+\cos x+\tan x+\cot x}+\dfrac{4\left(\tan x+\cot x\right)}{\sin x+\cos x+\tan x+\cot x}\\
&=4
,\end{split}\]等号当 $x=\dfrac{\pi}4$ 时取得．因此所求的最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
