设 $a<0$，且 $\forall x\in (a,b),\left(x^2+2017a\right)(x+2016b)\geqslant 0$，则 $b-a$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2017$
【解析】
若 $b>0$，则 $0\in(a,b)$，令 $x=0$ 得$$\left(0^2+2017a\right)(0+2016b)\geqslant 0,$$从而得到 $b\leqslant 0$，所以 $b\leqslant 0$．
根据题意，必然有\[\left(a^2+2017a\right)(a+2016b)\geqslant 0,\]于是 $a^2+2017a\leqslant 0$，进而 $-2017\leqslant a<0$．因此\[b-a\leqslant 0-(-2017)=2017.\]当 $(a,b)=(-2017,0)$ 时，题中不等式即\[x\left(x^2-2017^2\right)\geqslant 0,\]符合题意．
综上所述，$b-a$ 的最大值为 $2017$．
根据题意，必然有\[\left(a^2+2017a\right)(a+2016b)\geqslant 0,\]于是 $a^2+2017a\leqslant 0$，进而 $-2017\leqslant a<0$．因此\[b-a\leqslant 0-(-2017)=2017.\]当 $(a,b)=(-2017,0)$ 时，题中不等式即\[x\left(x^2-2017^2\right)\geqslant 0,\]符合题意．
综上所述，$b-a$ 的最大值为 $2017$．
题目
答案
解析
备注
