在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=2$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$，则 $b^2-ab$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意及平行四边形的性质，有\[\begin{cases}4+b^2=2\left(a^2+c^2\right),\\ \dfrac 12\left(b^2+c^2-a^2\right)=2,\end{cases}\]于是\[2c^2=-2a^2+b^2+4=2a^2-2b^2+8,\]因此 $3b^2-4a^2=4$．设 $b^2-ab=x$，则有\[\dfrac{x}{4}=\dfrac{b^2-ab}{3b^2-4a^2},\]即\[(3x-4)b^2+4ab-4xa^2=0,\]也即\[(3x-4)\left(\dfrac ba\right)^2+4\left(\dfrac ba\right)-4x=0,\]考虑判别式，有\[16+16x(3x-4)\geqslant 0,\]于是 $x\leqslant \dfrac 13$ 或 $x\geqslant 1$．
当 $x\leqslant \dfrac 13$ 时，有$$\dfrac{b^2-ab}{3b^2-4a^2}\leqslant \dfrac 1{12}\Rightarrow (2a-3b)^2\leqslant 0,$$此时 $3b^2-4a^2\leqslant 0$，不可能，所以 $x\geqslant 1$．经验证，当 $\left(a,b,c\right)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2,\dfrac{5\sqrt 2}2\right)$ 时，$x=1$．因此所求的最小值为 $1$．
当 $x\leqslant \dfrac 13$ 时，有$$\dfrac{b^2-ab}{3b^2-4a^2}\leqslant \dfrac 1{12}\Rightarrow (2a-3b)^2\leqslant 0,$$此时 $3b^2-4a^2\leqslant 0$，不可能，所以 $x\geqslant 1$．经验证，当 $\left(a,b,c\right)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2,\dfrac{5\sqrt 2}2\right)$ 时，$x=1$．因此所求的最小值为 $1$．
题目
答案
解析
备注
