已知 $a,b\in \left[1,\sqrt 3\right]$，则 $\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[1,\sqrt 3\right]$
【解析】
一方面，有\[\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}\geqslant \dfrac{2ab-1}{ab}=2-\dfrac{1}{ab}\geqslant 1,\]等号当 $(a,b)=(1,1)$ 时取得．因此所求代数式的最小值为 $1$．
另一方面，由于\[\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=\dfrac ab+\dfrac{b-\dfrac 1b}{a}\leqslant \max\left\{b,\dfrac b{\sqrt 3}+\dfrac{2}{\sqrt 3b}\right\}\leqslant \sqrt 3,\]等号当 $(a,b)=\left(1,\sqrt 3\right)$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $\sqrt 3$．
综上所述，所求代数式的取值范围是 $\left[1,\sqrt 3\right]$．
另一方面，由于\[\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=\dfrac ab+\dfrac{b-\dfrac 1b}{a}\leqslant \max\left\{b,\dfrac b{\sqrt 3}+\dfrac{2}{\sqrt 3b}\right\}\leqslant \sqrt 3,\]等号当 $(a,b)=\left(1,\sqrt 3\right)$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $\sqrt 3$．
综上所述，所求代数式的取值范围是 $\left[1,\sqrt 3\right]$．
题目
答案
解析
备注
