已知 $a+b=6$,则 $\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)$ 的最小值是
【难度】
【出处】
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    换元
    >
    对称换元
【答案】
$144$
【解析】
设 $a=3+x$,$b=3-x$,则\[\begin{split}\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)&=\left(x^2+13+6x\right)\left(x^2+13-6x\right)\\
&=x^4+26x^2+169-36x^2\\
&=\left(x^2-5\right)^2+144
,\end{split}\]于是所求最小值为 $144$,当 $x=\pm \sqrt 5 $ 时取得.
题目 答案 解析 备注
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