已知 $a,b>0$，$a+\sqrt{b^2+8}=4$，则 $\dfrac 3a+\dfrac 1b$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
根据切割线放缩，有\[4=a+\sqrt{b^2+8}\geqslant a+\dfrac 13(b-1)+3,\]于是\[a+\dfrac b3\leqslant \dfrac 43,\]进而\[\dfrac 3a+\dfrac 1b\geqslant \dfrac{\left(\sqrt 3+\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)^2}{a+\dfrac b3}\geqslant 4,\]等号当且仅当 $(a,b)=(1,1)$ 时取得．因此所求的最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
