已知 $A$ 在线段 $BC$ 上（不包含端点），$O$ 是直线 $BC$ 外一点，且 $\overrightarrow{OA}-2a\overrightarrow{OB}-b\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，则 $\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{1+b}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2-2$
【解析】
根据题意，有 $2a+b=1$ 且 $a,b>0$．于是\[\begin{split}\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{1+b}&=\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{(2a+b)+b}\\
&=\dfrac{a(a+b)+b(a+2b)}{(a+2b)(a+b)}\\
&=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{a^2+3ab+2b^2}\\
&=1-\dfrac{1}{\dfrac ab+\dfrac{2b}a+3}\\
&\geqslant 1-\dfrac{1}{2\sqrt 2+3}\\
&=2\sqrt 2-2
,\end{split}\]等号当 $a=\sqrt 2b$ 时取得．因此所求的最小值为 $2\sqrt 2-2$．
&=\dfrac{a(a+b)+b(a+2b)}{(a+2b)(a+b)}\\
&=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{a^2+3ab+2b^2}\\
&=1-\dfrac{1}{\dfrac ab+\dfrac{2b}a+3}\\
&\geqslant 1-\dfrac{1}{2\sqrt 2+3}\\
&=2\sqrt 2-2
,\end{split}\]等号当 $a=\sqrt 2b$ 时取得．因此所求的最小值为 $2\sqrt 2-2$．
题目
答案
解析
备注
