若平面向量 $\overrightarrow \alpha $、$\overrightarrow \beta $ 满足 $\left|\overrightarrow \alpha \right| = 1$,$\left|\overrightarrow \beta\right| \leqslant 1$,且以向量 $\overrightarrow \alpha $、$\overrightarrow \beta $ 为邻边的平行四边形的面积为 $\dfrac{1}{2}$,则 $\overrightarrow \alpha $ 和 $\overrightarrow \beta $ 的夹角 $\theta $ 的取值范围是
【难度】
【出处】
2011年高考浙江卷(理)
【标注】
【答案】
$\left[ {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{5}{6}{\mathrm \pi} } \right]$
【解析】
由题意得:$\left| \overrightarrow \alpha \right|\left| \overrightarrow \beta \right|\sin \theta = \dfrac{1}{2}$.∵ $\left| \overrightarrow \alpha \right| = 1$,$\left| \overrightarrow \beta \right| \leqslant 1$.∴ $\sin \theta = \dfrac{1}{2\left| \overrightarrow \alpha \right|\left| \overrightarrow \beta \right|} \geqslant \dfrac{1}{2}$.
又∵ $\theta \in \left(0,{\mathrm \pi} \right)$,∴ $\theta \in \left[ {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{5}{6}{\mathrm \pi} } \right]$.
题目 答案 解析 备注
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