已知 $\sin \alpha = \dfrac{1}{2} + \cos \alpha $，且 $\alpha \in \left( {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right)$，则 $\dfrac{\cos 2\alpha }{{\sin \left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)}}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2011年高考重庆卷（理）
【标注】
【答案】
$ - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}$
【解析】
化简待求式，发现 $\dfrac{\cos 2\alpha }{{\sin \left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)}}=- \sqrt 2 \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) $，所以只要求出 $\sin \alpha + \cos \alpha $ 的值即可．依题意得 $\sin \alpha - \cos \alpha = \dfrac{1}{2}$，而 ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = 2$，即 ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = 2$，所以 ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \dfrac{7}{4}$．
又 $\alpha \in \left( {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right)$，因此有 $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{\sqrt 7 }{2}$，所以\[ \begin{split}\dfrac{\cos 2\alpha }{{\sin \left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)}} &\overset{\left[a\right]}= \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\dfrac{\sqrt 2 }{2}\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)}} \\&= - \sqrt 2 \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) \\&= - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}.\end{split} \]（推导中用到 $\left[a\right]$）
又 $\alpha \in \left( {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right)$，因此有 $\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{\sqrt 7 }{2}$，所以\[ \begin{split}\dfrac{\cos 2\alpha }{{\sin \left( {\alpha - \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)}} &\overset{\left[a\right]}= \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\dfrac{\sqrt 2 }{2}\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)}} \\&= - \sqrt 2 \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) \\&= - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}.\end{split} \]（推导中用到 $\left[a\right]$）
题目
答案
解析
备注
