已知圆 $C:{x^2} + {y^2} = 12$，直线 $l:4x + 3y = 25$．
① 圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为 ；
② 圆 $C$ 上任意一点 $A$ 到直线 $l$ 的距离小于 $2$ 的概率为 ．
① 圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为
② 圆 $C$ 上任意一点 $A$ 到直线 $l$ 的距离小于 $2$ 的概率为
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
$5$；$\dfrac{1}{6}$
【解析】
考查直线的相关计算和几何概型．① 由点到直线的距离公式可得 $d = \dfrac{25}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5;$
② 可求与直线 $4x+3y=25 $ 平行且距离为 $2 $，与圆相交的直线方程为 $ 4x+3y=15$．
由 ① 可知圆心到直线的距离为 $5$，所以圆心到直线 $ 4x+3y=15$ 的距离为 $ 3$，
从而直线 $ 4x+3y=15$ 与圆 $ x^2+y^2=12$ 相交所得的弦长为 $ 2\sqrt 3$，对应劣弧所对的圆心角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，故所求概率为 $P = \dfrac{{\dfrac{\mathrm \pi} {3}}}{{2{\mathrm \pi} }} = \dfrac{1}{6}$．
② 可求与直线 $4x+3y=25 $ 平行且距离为 $2 $，与圆相交的直线方程为 $ 4x+3y=15$．
由 ① 可知圆心到直线的距离为 $5$，所以圆心到直线 $ 4x+3y=15$ 的距离为 $ 3$，
从而直线 $ 4x+3y=15$ 与圆 $ x^2+y^2=12$ 相交所得的弦长为 $ 2\sqrt 3$，对应劣弧所对的圆心角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {3}$，故所求概率为 $P = \dfrac{{\dfrac{\mathrm \pi} {3}}}{{2{\mathrm \pi} }} = \dfrac{1}{6}$．
题目
答案
解析
备注
