已知双曲线 $ x^2-y^2=1 $，点 $ F_1、F_2 $ 为其两个焦点，点 $ P $ 为双曲线上一点．若 $ PF_1\perp PF_2 $，则 $ |PF_1|+|PF_2| $ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2012年高考辽宁卷（文）
【标注】
【答案】
$ 2{\sqrt{3}} $
【解析】
可利用双曲线定义，并结合 $ PF_1\perp PF_2 $ 求得 $ |PF_1|+|PF_2| $．不妨设 $ P $ 为右支上的点，由双曲线的定义，得 $ |PF_1|-|PF_2|=2,$ ①
由勾股定理，得 $ |PF_1|^2+|PF_2|^2=4c^2=8, $ ②
① 式平方后减去 ② 式，得 $ 2|PF_1||PF_2|=4, $ ③
由 ② 与 ③ 相加得：$\left( |PF_1|+|PF_2|\right)^2=12 $，
即 $ |PF_1|+|PF_2|=2{\sqrt{3}} $．
由勾股定理，得 $ |PF_1|^2+|PF_2|^2=4c^2=8, $ ②
① 式平方后减去 ② 式，得 $ 2|PF_1||PF_2|=4, $ ③
由 ② 与 ③ 相加得：$\left( |PF_1|+|PF_2|\right)^2=12 $，
即 $ |PF_1|+|PF_2|=2{\sqrt{3}} $．
题目
答案
解析
备注
