若 $\alpha\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right), \tan2\alpha=\frac{\cos\alpha}{2-\sin\alpha}$，则 $\tan\alpha=$ \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
$\tan 2\alpha=\frac{\cos\alpha}{2-\sin\alpha}$．
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\frac{\cos\alpha}{2-\sin\alpha}$．
所以 $2\sin\alpha(2-\sin\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
所以 $4\sin\alpha-2\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
所以 $\sin\alpha=\frac{1}{4}$．
又因为 $\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$．如图，$\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$．
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\frac{\cos\alpha}{2-\sin\alpha}$．
所以 $2\sin\alpha(2-\sin\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
所以 $4\sin\alpha-2\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
所以 $\sin\alpha=\frac{1}{4}$．
又因为 $\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$．如图，$\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$．
题目
答案
解析
备注
