如图,$AB$ 为圆 $O$ 的直径,$E$ 为 $AB$ 延长线上一点,过 $E$ 作圆 $O$ 的切线,切点为 $C$,过 $A$ 作直线 $EC$ 的垂线,垂足为 $D$.若 $AB=4$,$CE=2\sqrt 3$,则 $AD=$ .

【难度】
【出处】
2015年高考广东卷(文)
【标注】
【答案】
$ 3 $
【解析】
本小题考查了切割线定理以及平行截割定理.条件给出切线长,有割线,故可用切割线定理建立等式关系,再有相似比得到结果.连接 $OC$,如图所示:
由切割线定理可得 $EC^2=EB\cdot EA$,即 $\left(2\sqrt 3\right)^2=EB\cdot \left(EB+4\right)$,解得 $EB=2$,所以 $O$ 是 $EA$ 靠近 $A$ 的三等分点.因为 $\angle OCE=\angle ADE=90^\circ $,所以 $OC\parallel AD$,所以 $\dfrac{OC}{AD}=\dfrac{EO}{AE}=\dfrac{2}{3}$,又 $OC=\dfrac{1}{2}AB=2$,$AE=6$,解得 $AD=3$.

题目
答案
解析
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