本题的重点在于去绝对值，不确定符号的要分类讨论，数形结合来解更容易，然后利用线性规划的内容来解决．在 $x^2+y^2\leqslant 1$时，$6-x-3y>0$，所以\[f\left(x,y\right)=\begin{cases}x-2y+4,\quad\quad y\geqslant -2x+2,\\ -3x-4y+8,\quad y<-2x+2.\end{cases}\]直线 $ y= -2x+2 $ 与圆 $ x^2+y^2=1 $ 相交于 $A $、$B $ 两点，如图所示，易得 $ A\left(1,0\right) $，$B\left(\dfrac 35,\dfrac 45\right) $．
设目标函数 $z_1=x-2y+4 $，$z_2=-3x-4y+8 $，它们所对的可行域分别为劣弧 $ {AB} $ 所对弓形和优弧 $ {BCA} $ 所对弓形，可知二者均在点 $B $ 处取得最小值 $ 3 $．所以 ${\left|{2x+y-2}\right|}+{\left|{6-x-3y}\right|}$ 的最小值是 $ 3 $．