已知 $\overrightarrow{e_1}$,$\overrightarrow{e_2}$ 是空间单位向量,$\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=\dfrac 12$,若空间向量 $\overrightarrow{b}$ 满足 $\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{e_1} =2$,$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{e_2} =\dfrac 52$,且对于任意 $x,y\in{\mathbb{R}}$,${\left|{\overrightarrow{b}-\left(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}\right)}\right|}\geqslant {\left|{\overrightarrow b-\left(x_0\overrightarrow{e_1}+y_0\overrightarrow{e_2}\right)}\right|}=1$($x_0,y_0\in{\mathbb{R}}$),则 $x_0=$ ,$y_0=$ ,${\left|{\overrightarrow{b}}\right|}=$ .
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$;$2$;$2\sqrt 2$
【解析】
本题的难点是抓住数量积的最小值,把空间向量问题转化为平面向量问题来处理.由题意得,$\langle \overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\rangle=\dfrac{\mathrm \pi} {3}$.在向量 ${\overrightarrow e_1}$,$\overrightarrow e_2$ 所在的两条射线上分别取 $OM=2$,$ON=\dfrac 52$,分别过点 $M$、$N$ 作与射线 $OM$、$ON$ 垂直的平面,则向量 $\overrightarrow b$ 的终点 $Q$ 在这两个平面的交线上.记此交线与平面 $MON$ 的交点为 $P$.
根据题意,向量 $x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2$ 的终点 $R$ 可以取遍整个平面 $MON$,此时\[|QR|=\left|\overrightarrow b-\left(x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2\right)\right|,\]其最小值为 $|QP|$,且 $|QP|=1$.
此时分析平面 $MON$,可以得到 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow e_1+2\overrightarrow e_2$,于是 $x_0=1$,$y_0=2$.而\[\left|\overrightarrow b\right|^2=|OP|^2+|QP|^2=8,\]因此 $\left|\overrightarrow b\right|=2\sqrt 2$.


题目
答案
解析
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