本题需要对 $a$ 的取值进行分类讨论，注意绝对值的存在．（1）当 $ a\leqslant 0 $ 时，$ f\left(x\right)$ 在 $ \left[0,1\right]$ 上单调递增，故 $ g\left(a\right)=f\left(1\right)=1-a $；
（2）当 $ 0<a<1 $ 时，因为 $f\left(0\right)=f\left(a\right)=0$，所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,\dfrac a2\right) $ 上单调递增，在 $ \left[\dfrac a2,a\right) $ 上单调递减，在 $ \left[a,1\right] $ 上单调递增，$f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac {a^2}{4} $，$ f\left(1\right)=1-a $．
$\because f\left(\dfrac a2\right)-f\left(1\right)=\dfrac{\left(a+2\right)^2-8}{4} $，
$\therefore$ 当 $0<a<2\sqrt 2 -2 $ 时，$ f\left(\dfrac a2\right)<f\left(1\right) $，$\therefore$ $ g\left(a\right)=f\left(1\right)=1-a $；
（3）当 $2\sqrt 2 -2\leqslant a<1 $ 时，$ f\left(\dfrac a2\right)\geqslant f\left(1\right) $，$\therefore$ $ g\left(a\right)=f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac{a^2}{4} $；
当 $ 1\leqslant a<2 $ 时，$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,\dfrac a2\right) $ 上单调递增，在 $ \left[\dfrac a2,1\right] $ 上单调递减，故 $g\left(a\right)=f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac{a^2}{4} $；
当 $ a\geqslant 2$ 时，$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,1\right] $ 上单调递增，故 $ g\left(a\right)=f\left(1\right)=a-1$．
综上，$g\left(a\right)=\begin{cases}1-a,&a<2\sqrt 2-2,\\ \dfrac {a^2}{4},&2\sqrt 2 -2 \leqslant a<2,\\ a-1,&a\geqslant 2.\end{cases} $