$a$ 为实数,函数 $f\left(x\right)={\left|{x^2-ax}\right|}$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上的最大值记为 $g\left(a\right)$.当 $a=$ 时,$g\left(a\right)$ 的值最小.
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2-2$
【解析】
本题需要对 $a$ 的取值进行分类讨论,注意绝对值的存在.(1)当 $ a\leqslant 0 $ 时,$ f\left(x\right)$ 在 $ \left[0,1\right]$ 上单调递增,故 $ g\left(a\right)=f\left(1\right)=1-a $;
(2)当 $ 0<a<1 $ 时,因为 $f\left(0\right)=f\left(a\right)=0$,所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,\dfrac a2\right) $ 上单调递增,在 $ \left[\dfrac a2,a\right) $ 上单调递减,在 $ \left[a,1\right] $ 上单调递增,$f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac {a^2}{4} $,$ f\left(1\right)=1-a $.
$\because f\left(\dfrac a2\right)-f\left(1\right)=\dfrac{\left(a+2\right)^2-8}{4} $,
$\therefore$ 当 $0<a<2\sqrt 2 -2 $ 时,$ f\left(\dfrac a2\right)<f\left(1\right) $,$\therefore$ $ g\left(a\right)=f\left(1\right)=1-a $;
(3)当 $2\sqrt 2 -2\leqslant a<1 $ 时,$ f\left(\dfrac a2\right)\geqslant f\left(1\right) $,$\therefore$ $ g\left(a\right)=f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac{a^2}{4} $;
当 $ 1\leqslant a<2 $ 时,$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,\dfrac a2\right) $ 上单调递增,在 $ \left[\dfrac a2,1\right] $ 上单调递减,故 $g\left(a\right)=f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac{a^2}{4} $;
当 $ a\geqslant 2$ 时,$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,1\right] $ 上单调递增,故 $ g\left(a\right)=f\left(1\right)=a-1$.
综上,$g\left(a\right)=\begin{cases}1-a,&a<2\sqrt 2-2,\\ \dfrac {a^2}{4},&2\sqrt 2 -2 \leqslant a<2,\\ a-1,&a\geqslant 2.\end{cases} $
(2)当 $ 0<a<1 $ 时,因为 $f\left(0\right)=f\left(a\right)=0$,所以 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,\dfrac a2\right) $ 上单调递增,在 $ \left[\dfrac a2,a\right) $ 上单调递减,在 $ \left[a,1\right] $ 上单调递增,$f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac {a^2}{4} $,$ f\left(1\right)=1-a $.
$\because f\left(\dfrac a2\right)-f\left(1\right)=\dfrac{\left(a+2\right)^2-8}{4} $,
$\therefore$ 当 $0<a<2\sqrt 2 -2 $ 时,$ f\left(\dfrac a2\right)<f\left(1\right) $,$\therefore$ $ g\left(a\right)=f\left(1\right)=1-a $;
(3)当 $2\sqrt 2 -2\leqslant a<1 $ 时,$ f\left(\dfrac a2\right)\geqslant f\left(1\right) $,$\therefore$ $ g\left(a\right)=f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac{a^2}{4} $;
当 $ 1\leqslant a<2 $ 时,$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,\dfrac a2\right) $ 上单调递增,在 $ \left[\dfrac a2,1\right] $ 上单调递减,故 $g\left(a\right)=f\left(\dfrac a2\right)=\dfrac{a^2}{4} $;
当 $ a\geqslant 2$ 时,$ f\left(x\right) $ 在 $ \left[0,1\right] $ 上单调递增,故 $ g\left(a\right)=f\left(1\right)=a-1$.
综上,$g\left(a\right)=\begin{cases}1-a,&a<2\sqrt 2-2,\\ \dfrac {a^2}{4},&2\sqrt 2 -2 \leqslant a<2,\\ a-1,&a\geqslant 2.\end{cases} $
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