如图,圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T\left(1,0\right)$,与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A$,$B$($B$ 在 $A$ 的上方),且 ${\left|{AB}\right|}=2$.
(1)圆 $C$ 的标准方程为
(2)过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于 $M$,$N$ 两点,下列三个结论:
① $\dfrac{ \left|NA \right|}{ \left|NB \right|}=\dfrac{ \left|MA \right|}{ \left|MB \right|}$;② $\dfrac{ \left|NB \right|}{ \left|NA \right|}-\dfrac{ \left|MA \right|}{ \left|MB \right|}=2$;③ $\dfrac{ \left|NB \right|}{ \left|NA \right|}+\dfrac{ \left|MA \right|}{ \left|MB \right|}=2\sqrt 2$.
其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号)
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
(1)$\left(x-1\right)^2+\left(y-\sqrt 2\right)^2=2$;(2)①②③
【解析】
本题利用参数方程来求解就可以避免大量的计算.(1)如图:设 $ AB $ 中点为 $D $,连接 $ CD $,$ CA $.则 $ CD\perp AB$,且 $ |AD|=|CD|=1$,$\therefore r=|AC|=\sqrt 2 $.
$\because$ 圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T\left(1,0\right)$,$\therefore$ $C\left(1,\sqrt 2\right) $,$\therefore$ 圆 $C $ 方程为 $\left(x-1\right)^2+\left(y-\sqrt 2\right)^2=2 $.
(2)由(1)可求得 $ A\left(0,\sqrt 2-1\right) $,$ B\left(0,\sqrt 2+1\right) $.
$\because M , N$ 两点在圆 $O:x^2+y^2=1$ 上,$\therefore$ 设 $ M\left(\cos \alpha,\sin \alpha\right) $,$ N\left(\cos \beta, \sin \beta\right) $.\[\begin{split}\therefore |NA|&\overset{\left[a\right]}=\sqrt{\cos ^2\beta+\left(\sin \beta-\sqrt 2+1\right)^2} \\&\overset{\left[b\right]}=\sqrt{2\left(\sqrt 2-1\right)\left(\sqrt 2-\sin \beta\right)},\\ |NB|&=\sqrt{\cos ^2\beta+\left(\sin \beta-\sqrt 2-1\right)^2}\\&=\sqrt{2\left(\sqrt 2+1\right)\left(\sqrt 2 -\sin \beta\right)} \end{split}\](推导中用到:[a][b])$\therefore \dfrac{ \left|NA \right|}{ \left|NB \right|}=\sqrt 2 -1 $.
同理可得 $ \dfrac{ \left|MA \right|}{ \left|MB \right|}=\sqrt 2-1 $.
故 ①②③ 均正确.
题目 答案 解析 备注
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