设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数，当 $x\in[1,2]$ 时，$f(x)=ax^2+b$．若 $f(0)+f(3)=6$．则 $f(\frac{9}{2})=$ \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为 $f(x+1)$ 为奇函数，所以 $f(x)$ 关于 $(1,0)$ 中心对称，所以 $f(1)=0$．
因 $f(x+2)$ 为偶函数，故 $f(x)$ 关于 $x=2$ 轴对称，周期为 $4$．
所以 $f(0)=-f(2), f(3)=f(1)$．即 $f(1)-f(2)=6,f(2)=-6$．
$\left\{\begin{aligned}&a+b=0\\ &4a+b=-6\\ \end{aligned}\right.$，所以 $\left\{\begin{aligned}&a=-2\\ &b=2\\ \end{aligned}\right.$．
故$$f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-f\left(-\frac{3}{2}\right)=-\left(-2\times \frac{9}{4}+2\right)=\frac{5}{2}.$$故选D．
因 $f(x+2)$ 为偶函数，故 $f(x)$ 关于 $x=2$ 轴对称，周期为 $4$．
所以 $f(0)=-f(2), f(3)=f(1)$．即 $f(1)-f(2)=6,f(2)=-6$．
$\left\{\begin{aligned}&a+b=0\\ &4a+b=-6\\ \end{aligned}\right.$，所以 $\left\{\begin{aligned}&a=-2\\ &b=2\\ \end{aligned}\right.$．
故$$f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-f\left(-\frac{3}{2}\right)=-\left(-2\times \frac{9}{4}+2\right)=\frac{5}{2}.$$故选D．
题目
答案
解析
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