若 $x$,$y$ 满足约束条件 $\begin{cases}
y-x\leqslant 1, \\ x+y\leqslant 3, \\ y\geqslant 1,
\end{cases}$ 则 $z=x+3y$ 的最大值为 .
y-x\leqslant 1, \\ x+y\leqslant 3, \\ y\geqslant 1,
\end{cases}$ 则 $z=x+3y$ 的最大值为
【难度】
【出处】
2015年高考山东卷(文)
【标注】
【答案】
$7$
【解析】
此题是线性规划问题,首先画出不等式所表示的平面区域,其次需要将目标函数化成 $y=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{3}$,将问题转化为求直线 $y=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{3}$ 的纵截距的最大值,即可解决问题.不等式组 $\begin{cases}
y-x\leqslant 1, \\ x+y\leqslant 3, \\ y\geqslant 1,
\end{cases}$ 所满足的可行域为图中阴影部分:
目标函数 $y=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{3}$ 经过点 $A\left(1,2\right)$ 时,截距 $\dfrac{z}{3}$ 最大,即 $z$ 最大,$z_{\max}=7$.
y-x\leqslant 1, \\ x+y\leqslant 3, \\ y\geqslant 1,
\end{cases}$ 所满足的可行域为图中阴影部分:

题目
答案
解析
备注