本题考查正弦型函数的图象性质：正弦型函数图象上，函数值相等的情况有两种，两点关于对称轴对称，或者两点相距为整周期；函数值相反的情况有两种，两点关于对称中心对称或两点相距为奇数个半周期．因为 $f\left( x \right)= A\sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$在区间 $\left[ {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上具有单调性，所以 $\dfrac{T}{2}\geqslant \dfrac{\mathrm \pi} {2}-\dfrac{\mathrm \pi} {6} $，所以 $ T\geqslant \dfrac{2{\mathrm \pi} }{3} $．
因为 $f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right) = f\left( {\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}} \right) $，所以 $ f\left(x\right) $ 的一条对称轴为 $ x=\dfrac 12\left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}+\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right)=\dfrac{7{\mathrm \pi} }{12} $．
又因为 $ f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right) = - f\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)$，所以 $f\left( x \right)$ 的一个对称中心为 $\left( {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {2} + \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right),0} \right) $，即 $ \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {3},0} \right)$．
所以 $ \dfrac {\left(2n+1\right)T}4=\dfrac{7{\mathrm \pi} }{12}-\dfrac{\mathrm \pi} {3}=\dfrac{\mathrm \pi} {4},n\in\mathbb Z$，故 $f\left( x \right)$ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi} $．