本题考查三角函数的倍角公式，转化为二次函数最值问题．函数 $y=\cos 2x+2\sin x=1-2\sin ^2x+2\sin x$，令 $\sin x =t\in \left[-1,1\right]$，则 $y = 1 - 2{t^2} + 2t = - 2{\left( {t - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{2}$，所以当 $t = \dfrac{1}{2}$ 时，$ y$ 的最大值为 $\dfrac 32 $．