圆心在直线 $x - 2y = 0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴相切，圆 $C$ 截 $x$ 轴所得弦的长为 $2\sqrt 3 $，则圆 $C$ 的标准方程为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考山东卷（文）
【标注】
【答案】
${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4$
【解析】
本题考查了直线与圆的位置关系，由直线与圆相切和直线与圆相交分别得到圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程．设圆 $C$ 的圆心坐标为 $\left(x_0,\dfrac{1}{2}x_0\right)$，因为圆 $C$ 与 $y$ 轴正半轴相切，所以 $x_0=r$，设圆 $C$ 与 $x$ 轴相交于 $A$，$B$ 两点，$D$ 为 $AB$ 的中点，所以 $r^2=CD^2+DB^2$，其中，$CD=\dfrac{r}{2}$，$DB=\sqrt 3$，于是，解得 $r=2$，因此，圆心坐标为 $\left(2,1\right)$．所以圆 $C$ 的标准方程$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$．
题目
答案
解析
备注
