已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > 0,b > 0\right)$ 的焦距为 $2c$，右顶点为 $ A $，抛物线 ${x^2} = 2py\left(p > 0\right)$ 的焦点为 $ F $，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 $2c$，且 $|FA| = c$，则双曲线的渐近线方程为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$y = \pm x$
【解析】
本题是双曲线与抛物线的基本量的综合问题，根据题中的两个关键条件，一是双曲线截抛物线的准线所得线段长为 $2c$，二是 $|FA| = c$，列出对应的式子，从而得到 $\dfrac{b}{a}$ 的值．双曲线右顶点 $A\left(a,0\right)$，抛物线焦点 $F\left(0,\dfrac{p}{2}\right)$，已知 $|AF|=c$，所以 $c^2=a^2+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$，故 $b=\dfrac{p}{2}$．
因为双曲线截抛物线的准线所得线段长为 $2c$，所以抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 $\left( {c,-\dfrac{p}{2}} \right)$，即 $\left( {c, - b} \right)$，代入双曲线方程，得 $\dfrac{c^2}{a^2} - \dfrac{b^2}{b^2} = 1,$ 即 $\dfrac{c^2}{a^2} = 2$，从而 $\dfrac{b}{a} = \sqrt {\dfrac{c^2}{a^2} - 1} = 1$，因此渐近线方程为 $y = \pm x$．
因为双曲线截抛物线的准线所得线段长为 $2c$，所以抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 $\left( {c,-\dfrac{p}{2}} \right)$，即 $\left( {c, - b} \right)$，代入双曲线方程，得 $\dfrac{c^2}{a^2} - \dfrac{b^2}{b^2} = 1,$ 即 $\dfrac{c^2}{a^2} = 2$，从而 $\dfrac{b}{a} = \sqrt {\dfrac{c^2}{a^2} - 1} = 1$，因此渐近线方程为 $y = \pm x$．
题目
答案
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备注
