已知 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 的对边，$a = 2$，且 $\left(2 + b\right)\left(\sin A - \sin B\right) = \left(c - b\right)\sin C$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 3 $
【解析】
本题考查正余弦定理的简单应用．题中等式根据“边角互换”得到全是边的等式，结合余弦定理与均值不等式即可得到面积最大值．先由正弦定理，得 $ \left(a+b\right)\left(a-b\right)=\left(c-b\right)c$；再由余弦定理，得 $ \angle A=60^\circ$，然后结合均值定理，得 $ 4=a^2=b^2+c^2-2bc\cos {A}\geqslant {bc} $（当且仅当 $ b=c $ 时取等号）；最后由三角形面积公式，得 $S_{\triangle {ABC}}=\dfrac 12bc\sin A\leqslant \sqrt 3 $．
题目
答案
解析
备注
