已知实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a + b + c = 0$，${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$，则 $a$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（文）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 6 }{3}$
【解析】
本题给出三个未知数，两个方程，关键就是如何转化为只含有 $a$ 的代数式，可以利用均值不等式等条件辅助处理．$\because a + b + c = 0$，
$\therefore b+c=-a$．
$\because {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$，
$\therefore 1-a^2=b^2+c^2=\left(b+c\right)^2-2bc=a^2-2bc $，
$\therefore 2a^2-1=2bc \leqslant b^2+c^2=1-a^2$．
$\therefore 3a^2\leqslant 2 $，
$\therefore a$ 的最大值是 $\dfrac{\sqrt 6 }{3}$．
$\therefore b+c=-a$．
$\because {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$，
$\therefore 1-a^2=b^2+c^2=\left(b+c\right)^2-2bc=a^2-2bc $，
$\therefore 2a^2-1=2bc \leqslant b^2+c^2=1-a^2$．
$\therefore 3a^2\leqslant 2 $，
$\therefore a$ 的最大值是 $\dfrac{\sqrt 6 }{3}$．
题目
答案
解析
备注
