设直线 $x - 3y + m = 0\left( {m \ne 0} \right)$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left( {a > 0, b > 0} \right)$ 的两条渐近线分别交于点 $A,B$，若点 $P\left( {m,0} \right)$ 满足 $\left| {PA} \right| = \left| {PB} \right|$，则该双曲线的离心率是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 5 }{2}$
【解析】
本题需要把 $A$、$B$ 的坐标表示出来，根据 $\left| {PA} \right| = \left| {PB} \right|$ 列出关系式，这里通常用垂直和中点来表达，从而求得离心率．双曲线的渐近线方程为 $y = \dfrac{b}{a}x$ 与 $y = - \dfrac{b}{a}x$，分别与 $x - 3y + m = 0$ 联立方程组，
解得 $A\left(\dfrac{ - am}{a - 3b},\dfrac{ - bm}{a - 3b}\right) , B\left(\dfrac{ - am}{a + 3b},\dfrac{bm}{a + 3b}\right),$
设 $AB$ 的中点为 $Q$，则 $Q\left( {\dfrac{{{a^2}m}}{{9{b^2} - {a^2}}},\dfrac{{3{b^2}m}}{{9{b^2} - {a^2}}}} \right)$，
因为 ${ | }PA| = |PB|$ 且 $k_{AB}=\dfrac 13$，所以 $PQ\perp AB $，且 ${k_{PQ}} = - 3$，
将 $ P,Q$ 点的坐标代入，化简得 ${a^2} = 4{b^2} $．
所以 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 5}2$．
解得 $A\left(\dfrac{ - am}{a - 3b},\dfrac{ - bm}{a - 3b}\right) , B\left(\dfrac{ - am}{a + 3b},\dfrac{bm}{a + 3b}\right),$
设 $AB$ 的中点为 $Q$，则 $Q\left( {\dfrac{{{a^2}m}}{{9{b^2} - {a^2}}},\dfrac{{3{b^2}m}}{{9{b^2} - {a^2}}}} \right)$，
因为 ${ | }PA| = |PB|$ 且 $k_{AB}=\dfrac 13$，所以 $PQ\perp AB $，且 ${k_{PQ}} = - 3$，
将 $ P,Q$ 点的坐标代入，化简得 ${a^2} = 4{b^2} $．
所以 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 5}2$．
题目
答案
解析
备注
