如图，某人在垂直于水平地面 $ABC$ 的墙面前的点 $A$ 处进行射击训练．已知点 $A$ 到墙面的距离为 $AB$，某目标点 $P$ 沿墙面上的射线 $CM$ 移动，此人为了准确瞄准目标点 $P$，需计算由点 $A$ 观察点 $P$ 的仰角 $\theta $ 的大小．若 $AB = 15 $ $ {\mathrm{m}} $，$AC = 25 $ $ {\mathrm{m}} $，$\angle BCM = 30^\circ $，则 $\tan \theta $ 的最大值是 ．（仰角 $\theta$ 为直线 $ AP $ 与平面 $ ABC $ 所成角）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{5\sqrt 3 }{9}$
【解析】
这是一道解三角形的应用题，需要充分利用 $AB$、$AC$ 的长和 $\angle BCM$ 的角度这些已知条件．过 $P$ 作 $PH \perp BC$ 于 $H$，连接 $AH$，如图，
有 $\angle PAH=\theta$，
而\[\tan \theta=\dfrac{PH}{AH}=\dfrac{CH\cdot \tan \angle BCM}{AH}=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot\dfrac{CH}{AH}.\]由正弦定理知\[\tan \theta=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot \dfrac{\sin \angle CAH}{\sin \angle ACH}=\dfrac{5\sqrt 3}{9}\sin\angle CAH.\]当 $\sin \angle CAH=1$ 时，$\tan \theta$ 取到最大值 $\dfrac{5\sqrt 3 }{9}$．
有 $\angle PAH=\theta$，而\[\tan \theta=\dfrac{PH}{AH}=\dfrac{CH\cdot \tan \angle BCM}{AH}=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot\dfrac{CH}{AH}.\]由正弦定理知\[\tan \theta=\dfrac{\sqrt 3}{3}\cdot \dfrac{\sin \angle CAH}{\sin \angle ACH}=\dfrac{5\sqrt 3}{9}\sin\angle CAH.\]当 $\sin \angle CAH=1$ 时，$\tan \theta$ 取到最大值 $\dfrac{5\sqrt 3 }{9}$．
题目
答案
解析
备注
